今天的作业中有这样一道题目：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M，与x轴的交点为A，B（点B在点A右侧），△ABM的三个内角∠M，∠A，∠B所对的边分别为m，a，b。若关于x的一元二次方程(m－a)x2+2bx+(m＋a)=0有两个相等的实数根。（1）判断△ABM的形状，并说明理由。（2）当定点M的坐标为（―2，―1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于C，D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标。

因为没有学圆与直线相切的知识，所以孩子问：什么叫直线与圆相切？

T：这是关于直线和圆的位置关系的问题。两个途径，一是你自己想想，一条直线和一个圆可能有哪些位置关系，可以类比一下直线与直线的位置关系的讨论方法,画一个圆，然后让一条直线动起来，看看在动的过程中出现哪些情况；第二条途径，看书上是怎样定义的。

(实际过程：先独立思考，再看书，知道有三类位置关系，区分的标准是“直线与圆的交点的个数”。)

提醒：在想象的过程中，直线平移，或绕一个点转动，出现的特殊情况就是有两次与圆只有一个交点。这种特殊情况就为我们提供了分类的标准。

S：没有交点，只有一个交点，有两个交点。

T：对，没有交点叫相离，只有一个公共点叫相切，有两个交点叫相交。一般我们把交点说成“公共点”。数学上常常要分类，这样可以简化讨论的对象，为认识数学对象提供方便。学过的其他类似情况有吗？

S：有。Δ＞0，＝0，＜0；两条直线平行没有交点、相交有一个交点；三角形的三个内角中，有一个内角大于90度、等于90度……

T：那你怎样画出一个圆的切线呢？

S：比划着画了一个。

T：你能保证画的一定是相切的位置吗？如何让人家相信？

提醒：这就需要研究一下如何判定。几何中，主要讨论图形的特点、位置关系、大小度量。对于某种位置关系——如这里的“相切”，需要研究两个问题：性质和判定。

刚才在观察位置关系时，直线在运动过程中出现相交的情况，这时有圆的弦。在研究弦的时候我们曾经得到什么？

S：垂径定理。

T：这个定理讲了什么？

S：圆中的弦与直径的位置关系。

T：很好。在圆中研究问题，就是要确定圆的要素，就是圆心、半径联系起来。

那么从垂径定理得到启发，能不能想想切线与半径的位置关系？

S：垂直。

T：与哪条半径垂直？

S：哦，与过切点的半径垂直。

T：很好。你自己总结一下上面的思考过程。

S：通过让一条直线动起来，得到三类位置关系，是通过公共点的个数来分类的。从弦与直径的位置关系，想到切线与过切点的半径垂直。

T：很好。自己看看书，咱们的想法与书上的一样吗？有没有我们没有想到的？

S：看完书，答：书上还用了圆心到直线的距离d与半径r的大小关系作为判断标准：d＞r相离，d＝r相切，d＜r相交。

T：很好。那么我们得到了定义直线与圆的位置关系的方法有几种？各是从什么角度定义的？

S：两种。公共点的个数，大小关系。

T：对。大小关系的定义中，用了圆心、半径。一般的讨论与圆相关的问题时，与圆心、半径或直径联系起来是基本的思路。

现在会画切线了吧？

S：会了。画一条半径，过半径的另一端画半径的垂线。

T：什么叫“半径的另一端”？看看书。

S：哦，叫做“半径的外端”。

T：那有“外端”必有“内端”喽。

S：“内端”就是圆心。