二面角求解方法赏析

253800河北省衡水市郑口中学  刘焕贞  徐红静

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立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考命题的热点，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都会出现. 而这类问题又是很多学生感到困惑的，表现为求解困难，失分较为严重.究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角时存在计算障碍.常见基本题型包括：(1)求二面角的大小；（2）已知二面角的大小，求其它量；（3）求二面角的取值范围.其实求二面角的方法很多，本文讨论七种二面角的求解方法.

一、定义法求二面角：   

 我们知道，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角的大小就是二面角的平面角.

本定义实际上为解题提供了添辅助线的一种规律，通过添加必要的辅助线，形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角形中的三角函数、正弦定理与余弦定理即可方便的解题. 定义法做二面角的平面角，要注意题设特殊性的特点，合理选择棱上的点，且过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是平面角. 

学生对“向棱分别引垂线”不能熟练运用，要启发学生充分运用等腰三角形、直角三角形、等边三角形的高线做出辅助线，将两个半平面内的两条垂线放到方便求解的平面图形中.

【例1】如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.

（1）证明：为的中点；

（2）若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.

【解析】：本题以直四棱柱为背景，考察考生的空间意识、运算和推演能力，考查空间整合思想的运用.

（1)利用面面平行来证明线线平行QC‖A1D，则出现相似三角形，于是根据三角形相似即可证明.

因为BQ‖AA1，BC‖AD，，，所以平面QBC‖平A面A1D，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC‖A1D.
   故与 A1 AD的对应边相互平行，于是这两个三角形相似，所以有，即为为的中点.

（2）如图所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.

又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E，

故∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．

因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA.

又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2，所以S△ADC＝4，AE＝4.

于是tan∠AEA1＝AE(AA1)＝1，∠AEA1＝4(π).

故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为4(π).

二、三垂线法求二面角：

对于三垂线定理的内容我们非常清楚：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律.

学生作不出平面角，是因为发现不了三垂线法的精髓.当从一个面内的某点P出发，有垂直于另一个面的线（或容易作出另一个面的垂线）时，经常使用此法，作图时只需由垂足O向棱引垂线OH连接HP即可，这种方法的优点是：将二面角的平面角化归到直角三角形中，便于运算.

【例2】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．

【解析】本题考查三垂线定理及直线与平面平行的判定．

（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件.

由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC，又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB

连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB   ∴PB∥平面AEC.

（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．

取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.

同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．

又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，

故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．

三、棱的垂面法求二面角：

所谓棱的垂面法，即空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角，其中面面垂直的性质定理和三垂线定理的应用是求解的关键.

学生往往对线面垂直的判定定理不熟悉或不会利用三垂线定理找二面角的平面角.实质上：棱的垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.

【例3】如图所示，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．若∠CBA＝60°，则二面角C1­OB1­D的余弦值为      ．

【解析】如图，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.

过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1，由O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.

又因为四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，

因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，

于是OB1⊥平面O1HC1.进而OB1⊥C1H，故∠C1HO1是二面角C1­OB1­D的平面角．

不妨设AB＝2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，OB1＝.

在Rt△OO1B1中，易知O1H＝OB1(OO1·O1B1)＝27(3).,而O1C1＝1，

于是C1H＝1(2)＋O1H2(2)＝7(12)＝7(19).

故cos∠C1HO1＝C1H(O1H)＝7(19)＝19(57). 即二面角C1­OB1­D的余弦值为19(57).

四、射影面积法求二面角：

斜面面积和射影面积的关系公式为，其中为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角，这个公式对于斜面为三角形、任意多边形都成立. 

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小.

学生往往不会寻找一个平面图形在另一个面的射影图形，尤其在无棱二面角求解时，此种方法更方便，但最后要通过判断二面角的形状下结论.

【例4】 如图，在正方体中，E为的中点，则平面与底面所成的二面角的余弦值为         .

【解析】 在正方体中，⊥底面 

∴A为点E在底面上的射影，△ABD是△EB1D在底面上的射影三角形.

设正方体的棱长为1，则

在△EB1D中，过E作EG⊥B1D于G，则

∴，

设平面与底面所成的二面角为θ，则.

五、补棱法求二面角

补棱法是针对构成二面角的两个半平面没有明确交线的二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，此即称为补棱，然后借助前述的定义法与三垂线法解题.

解决这种问题时学生往往不易找出二面角的棱，只需寻找两个平面的两个公共点连接即可，有些公共点需要延长两个平面内的线段找交点，找到棱即可用上述几种方法.

    【例5】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

   （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; 

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）正弦值的大小.

【解析】: 本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF），再在完整图形中找一个适合的点形成二面角的平面角解之.

（Ⅰ）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE．

而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．
又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.

过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG，则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.

在等腰Rt△PAF中， 

在Rt△PAB中， 

所以，在Rt△AHG中，，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的正弦会值大小是

六、补形法求二面角：

所谓补形法是将一几何体补成另一几何体后，在所形成的新几何体中研究原几何体中的有关元素的位置关系及其计算的方法.某些特殊几何体通过补形法，将图形进行适当的补形，构造出常见的长方体、正方体、正四面体等模型，使抽象问题简单化，把难以入手的问题明了化，易找到二面角的平面角，由此提高解题的效率.

【例6】如图，四棱锥S – ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB =，则面ASD与面BSC所成二面角的大小为         .

【解析】∵AB = BC = 1，∴SD = 1，故可把原四棱锥补成正方体ABCD – A1B1C1S，连A1B，则面ASD与面BSC所成的二面角，即为面ADSA1与BCSA1所成的二面角.

∵A1S⊥SD，A1S⊥SC，∴∠CSD为所求二面角的平面角，∠CAD = 45°，故所求二面角为45°.

七、向量法求二面角

向量法在立体几何中是一种十分简捷也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题.

向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟蹊径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方式：①先作、证二面角的平面角，再求得二面角的大小为；②先求二面角两个半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面角的大小为或其补角；③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂足不重合），又可转化为求两条异面直线的夹角．

学生用向量法求解时，需合理建系，在底面内找到互相垂直的两条直线分别作x 、y轴，尽量使多个顶点在坐标轴上，只要每个点坐标正确，求对两个法向量是关键。当法向量含参数时，必须细心对待.

【例7】如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正

方形，PA＝AB＝a，点M是PC的中点．

(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．

【解析】：(1)建系如图，由已知得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，M2(a).

设直线BP与DM所成的角为θ，∵→(BP)＝(－a,0，a)，→(DM)＝2(a)，

∴→(BP)·→(DM)＝0，故BP与DM所成的角的大小为90°.

(2)∵→(AP)＝(0,0，a)，→(AB)＝(a,0,0)，→(AD)＝(0，a,0)，→(BP)＝(－a,0，a)，

∴→(BP)·→(AD)＝0，→(AP)·→(AB)＝0，→(AP)·→(AD)＝0.

又由(1)知→(BP)·→(DM)＝0，

∴→(BP)是平面MDA的法向量，→(AP)是平面ABCD的法向量，则cos〈→(BP)，→(AP)〉＝|(AP)＝2(2).

∴所求的二面角M—DA—C的大小为45°.

【例8】如图，在四棱锥中，为正三角形，,,,平面.

（Ⅰ）点在棱上，试确定点的位置，使得平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.        

【解析】：本题考查直线与平面垂直的判定以及二面角问题．

由，可得，，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，.

（Ⅰ）,故；

设,若，则，即,

即，即，即当为中点时，，

则.所以当为中点时.  

（Ⅱ）设平面的一个法向量，，,

则且，即且，

令，则，，则，再取平面的一个法向量.  

则，即二面角的余弦值为.

利用向量法解决空间角的求解问题,首先需要根据几何体的结构特征建立合理的空间直角坐标系,准确求出点以及向量的坐标是解决此类问题的基础,准确求解直线的方向向量与平面的法向量是关键,最后只需利用这些向量表示所求角即可.解题时,要注意向量的夹角与所求角之间的关系,进行正确转化.如求解二面角时,要注意根据几何体的结构特征准确判断二面角的取值范围；求解线面角时,要注意三角函数名称的变化. 

上述七种二面角求法中，有的方法可以说是增添辅助线的一般规律，有的则是不同的解题技巧，我们可以根据实际情况选择使用.