数学思想是在具体的数学教学过程中提炼出来的对基础知识的本质性认识，可以知道数学理论的形成和建立，对数学问题的解决起有促进作用。整体思想就是其中的一种。整体思想指的是在解决数学问题时将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求问题综合考虑后得出的结论，整体思想的应用要做到观察全局，整体代入，整体换元、整体补形等，整体思想作为重要的数学思想方法之一，在数学学习中有广泛的应用，我们以一元二次方程为例来了解一下整体思想在方程中的运用。

1、整体代入。

例题：知m,n是关于x的方程x2-2x-2021=0的两根，求m2+n2-2m-2n的值。

分析：在解决这类题的过程中，如果求出方程的解然后再求代数式的值很很麻烦，给解题带来难度，因此考虑用整体代入的方法，可使问题简单化。

解析：根据方程的解的定义，可得m2-2m-2021=0,  n2-2n-2021=0,

整理后可得m2-2m=2021，n2-2n=2021，

所以m2+n2-2m-2n=m2-2m+n2-2n=4041。

思维拓展：知α、β是一元二次方程x2-3x-5=0的两根，

（1）求代数式2α2-6α-2β2+6β的值

（2）请你利用整体思想及根与系数的关系求代数式α2+3β的值。

2、整体换元。

例题：利用一元二次方程的知识解方程x4 - 2x2-18=0。

在这个问题中，未知数的次数是四，直接求解超出了学生的学习范围，我们可以引导学生思考，不难发现，x4可以表示为x2的平方，于是我们找到未知数之间的联系：可以把x2用y来替换，这样就可以得到关于y的一元二次方程，这样，可以先求出y的值，进一步在求x的值。问题得以顺利解决。

解析：设x2=y,原方程可转化为：y2-11y-24=0，

解得：y1=3； y2= 8，

所以x2-2x=3    x2-2x=8,

解得：X1=3；x2=-1；x3=4；x4=2

思维拓展:（1）用整体换元的思想解关于x的方程（x2-5x）2--（x2-5x）-6=0

        （ 2）用整体换元的思想解方程组：

 

数学思想方法可以激发学生学习兴趣，使学生的思维变得更加开阔，因此，在课堂教学中，我们要加强对数学思想的认识，有意识地渗透数学思想、数学方法，逐步形成用数学思想方法解决问题的习惯，提高学习数学应用数学的能力。